Conjuntos

CONJUNTOS

As idéias básicas da teoria dos conjuntos foram desenvolvidas pelo Matemático Alemão Georg Cantor (1845-1918) em 1875 mais ou menos.

A palavra conjunto é indefinida. Para escrever um conjunto usam-se chaves. Os elementos de um conjunto são escritos separados por vírgula e a ordem em que são escritos é irrelevante. Se o conjunto é infinito usa-se três pontos para indicar o fato. O nome de um conjunto é escrito com letra maiúscula, enquanto os dos seus elementos com letra minúscula. Alguns conjuntos tem representação especial como, por exemplo, o conjunto dos números naturais: א

.

O número de elementos de um conjunto é denominado de número cardinal ou simplesmente cardinal do conjunto. Representa-se por n(A) e lê-se “ene de A”.

Em muitas situações existe a idéia declarada ou implícita de um universo de discurso. Este universo inclui todas as coisas em discussão a um dado tempo . Com conjuntos, o universo do discurso é denominado de conjunto universal ou conjunto universo. Este conjunto é normalmente representado pela letra U. O conjunto universo pode variar de situação para situação.

A idéia de conjunto universal foi dada pelo logicista John Venn (1834-1923) que desenvolveu diagramas de conjuntos conhecidos como Diagramas de Venn. Venn comparou o conjunto universo ao nosso campo de visão. Ele mantém as coisas que focamos e ignora tudo o resto.

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

O complemento de um conjunto A, representado por A ou A’, é o conjunto de todos os elementos de U que

não são elementos de A, ou

A’ = { x | x € U e x ∉ A }

A interseção dos conjuntos A e B, representada por A∩B, é o conjunto formado pelos elemen-

tos comuns a A e a B, ou

A∩B = { x | x € A e x B }

Dois conjuntos A e B que não possuem elementos em comum, isto é, tais que A ∩ B = ∅ são denominados

conjuntos disjuntos.

A união de dois conjuntos A e B, representada por AUB, é o conjunto de todos os elementos

pertencentes tanto a A quanto a B, ou

AUB = { x | x € A ou x € B }

A diferença entre os conjuntos A e B, escrita A - B, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não ao B, ou

A - B = { x | x € A e x ∉ B }

Observação: Ao escrever um conjunto que contém vários elementos, a ordem em que os elementos aparecem não é relevante. Por exemplo, { 5, 1 } = { 1, 5 }. No entanto, existem muitas situações na Matemática onde a ordem de dois ou mais objetos é importante. Isto leva a idéia de par ordenado. Quando escrever um par ordenado use parênteses ao invés de chaves que são reservadas para escrever conjuntos.

No par ordenado (a, b), “a” é denominado de primeira componente e “b” é chamada de segunda componente.  Em geral (a, b) ≠ (b, a).

Assim AxB = { (a, b) | a €A e b € B }.

Note-se que AxB não é igual a BxA, embora a ordem em que os pares são escritos dentro de cada conjunto não seja importante, o que importa é a ordem dentro do par e não entre pares.

Se n(A) = a e n(B) = b então n(AxB) = ab.