Princípio Fundamental da Contagem

Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n. Desta forma, o princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer.

1º Exemplo:

Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:

Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)

Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)

Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.

2º Exemplo:

Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos?

Podemos escrever 3 * 3 * 3 = 27 números de 3 algarismos.

Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.

3º Exemplo:

Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará, separou 2 saias e 4 blusas. De quantas maneiras distintas ela pode se arrumar?

Trata-se de um problema simples de análise combinatória (estudo das contagens). O chamado Princípio Fundamental da Contagem (PFC) diz, se alguma escolha pode ser feita de M diferentes maneiras e alguma escolha subsequente pode ser feita de N diferentes maneiras, há M×N diferentes maneiras pelas quais essas escolhas podem ser feitas sucessivamente. 

Observe a tabela abaixo:

	blusa 1	blusa 2	blusa 3	blusa 4
saia 1	saia 1 e blusa 1	saia 1 e blusa 2	saia 1 e blusa 3	saia 1 e blusa 4
saia 2	saia 2 e blusa 1	saia 2 e blusa 2	saia 2 e blusa 3	saia 2 e blusa 4

Contando as possibilidades, vemos que Maria pode se arrumar de 8 maneiras distintas. De fato, a ação é constituída de duas etapas sucessivas. A primeira (vestir a saia) pode ser realizada de 2 maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda (vestir a blusa) pode ser realizada de 4 maneiras distintas.  Assim, pelo princípio fundamental da contagem (PFC), o número de efetuar a ação completa é 2 × 4 = 8.

4º Exemplo:

Um antigo trabalho da filosofia chinesa conhecido como I Ching (Livro das Mutações) é as vezes usada como um oráculo do qual as pessoas podem procurar e obter conselhos. A filosofia descreve a dualidade do universo em termos de duas forças primárias ying (passiva, escura, receptiva) e yang (ativa, brilhante, criativa). A energia Ying é representada por uma linha pontilhada (---) e a yang por uma linha sólida ( __ ). Estas linhas são escritas uma sobre as outras em grupos de três, denominadas de triagramas. Por exemplo, o triagrama é chamado de Tui, o “Joyous”, e é a imagem de um lago.

(a) Quantos triagramas diferentes existem?

A escolha reside entre duas linhas para cada uma das 3 posições do triagrama. Existem du-

as escolhas para cada posição e como são 3 posições, existem então: 2.2.2 = 8 triagramas diferentes.

(b) Os triagramas são agrupados juntos, um sobre o outro, em pares conhecidos como, hexagramas. Cada hexagrama representa um aspecto da filosofia I Ching. Quantos hexagramas existem?

Para cada posição no hexagrama, existem 8 possíveis triagramas, dando então: 8.8 = 64

hexagramas.